SONDE PIONEER 11

TERRE-JUPITER-SATURNE

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Solution

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 NB1 : Certes ancienne, la mission américaine Pioneer 11 Terre - Jupiter - Saturne....., restera dans toutes les mémoires, comme l'un des plus grands exploits de le mécanique et de l'industrie spatiale.

NB2 : Dans les années 70, la configuration des planètes hautes ( Jupiter, Saturne, Uranus, Neptune et Pluton, très spéciale, ne se reproduisant que tous les 189 ans environ, permettait, grâce à une technique mise au point par la NASA, de survoler toutes ces planètes en un seul voyage, appelé "GRAND VOYAGE", au prix simplement d'un tremplin gravifique sur la planète géante Jupiter.

Un article scientifique relate la mission, permettant de se familiariser avec la vulgarisation. Il joue également un rôle de référence, en permettant de confirmer les résultats et l'excellence de certaines approximations. Les parties en rouge, sont particulièrement utiles.

A ARTICLE A LIRE

(Extraits de la revue Air et Cosmos - Albert Ducrocq)

B : PROBLEME

Données retenues pour les calculs:

PHASE HYPERBOLIQUE DE DEPART:

Z = 229 km, V =14053 m/s, mT = 39.86 104 km3s-2, RT = 6378 km et vitesse VoS absolue d'injection héliocentrique, inclinée de 3°.1 sur l'écliptique.

PHASE HELIOCENTRIQUE : 1 UA = 149.597893 106 km

"Orbite 1,00/6,16 UA, ayant son périhélie au niveau de l'orbite terrestre et son aphélie à 922 millions de kilomètres du Soleil"

mS = 13.27 1010 km3s-2

Départ le 6 avril 1973 ( sans tenir compte des heures ), arrivée 3 décembre 1974

PHASE JOVIENNE : mJ = 1.267 108 km3s-2

Rayon de Jupiter RJ =71400 km

I : L'HYPERBOLE DE DEPART :

Latitude du Centre spatial JF Kennedy : Environ 28°.5

1°) Comment comprenez-vous les 3 vitesses dont il est question dans l'expression suivante :

"la vitesse maximale était atteinte au moment où cesse (après 56 s) le fonctionnement de la TE-M-364-4 : 14 053 m/s. Telle est la vitesse créée par le lanceur - c'est un record absolu, il convient de lui ajouter l'incrément de la rotation terrestre pour obtenir quelque 14500 m/s, cela à une altitude de 229 km, alors que le véhicule spatial ayant survolé l'Atlantique et franchi plus de 4400 km, se trouve déjà au-dessus de l'Afrique (cette vitesse annonce un résidu qui atteindra 9,45 km/s passé la libération de l'attraction terrestre)"

Vous réfléchirez, en particulier, à estimer l'azimut de tir et donnerez la constante C3 du tir. Réponse I 1°

2°) a) Précisez les caractéristiques de l'hyperbole de départ: a, e, F*(demi angle d'ouverture asymptotes), d distance de l'asymptote au centre de la terre, en admettant un tir au périgée de l'hyperbole. Vous constaterez alors que vu du Soleil, tout se passe comme si la vitesse à l'infini était issue du centre de la Terre, tellement l'asymptote est proche de la Terre.

b) Calculer le temps pour atteindre la sphère d'influence de la Terre( prendre un rayon de 900000 km environ). Réponses I 2° ( Vous pourriez faire une approximation 1<<F<< Ch F =sh F. Vous montrezalors que tout se passe comme si la sphère d'influence était atteinte à la vitesse constante moyenne Vinfinie)

3°) Quelle est alors la vitesse d'injection dans le système solaire? On supposera la terre sur un cercle de rayon 1 UA. Et on montrera que l'article laisse supposer que, pour le transfert héliocentrique, l'injection est faite au périgée. Réponse I 3°

II : LE TRANSFERT HELIOCENTRIQUE ELLIPTIQUE :

1°) a) Précisez les principales caractéristiques du transfert elliptique, en partant des données du périgée et de l'apogée.

b) Retrouver la durée du voyage, de planète à planète, sans tenir compte des sphères d'influence. Distance de Jupiter au soleil 743 106 km.

Vous pouvez retrouver la position et la vitesse de Jupiter par les éphémérides ( EPHEMERI.EXE)

Comparer avec les dates fournies 6/04/1973 et 3/12/1974. Vous pouvez transformer une date calendaire en jour julien (échelle linéaire avec jour 0 le 1/1/20000 à 12 h TU) par la routine J_JULIEN.EXE. Réciproquement une date julienne peut être convertie en date classique par DATE_CAL.EXE.

Réponse II 1°

2°) Calculer la vitesse relative d'arrivée de la sonde par rapport à Jupiter. Vous simplifierez en considérant un transfert écliptique et Jupiter sur un cercle écliptique.

Réponse II 2°

III : LE SURVOL DE JUPITER ET LE TREMPLIN :

Indiquons que la sonde Pioneer effectue un survol "par l'avant", destiné surtout à créer un changement de direction très important.

1°) Calculer la vitesse de survol de Jupiter au périgée à 42000 km de la "surface théorique" de la planète. Réponse III 1°

2°) a) Calculer la norme de l'accroissement de vitesse DV, dû au tremplin gravitationnel sur Jupiter.

b) Calculer la vitesse VS2 de sortie de la sphère d'influence de Jupiter, en norme et position en donnant la pente g2.

c) Déduire alors les caractéristiques de la nouvelle orbite héliocentrique.

d) Calculer la date à laquelle Pioneer arrive au niveau de Saturne ( distance de 1.43 109 km du Soleil ). Comparer avec l'article et commentez les écarts.

Réponse III 2°

C : SOLUTION SUCCINCTE

I : L'HYPERBOLE DE DEPART :

Réponse I 1°) :

VR=14053 m/s = 14.053 km/s est une vitesse relative mesurée dans des axes liés à la rotation terrestre. C'est la vitesse que mesurent des radars au sol.

Va = 14.5 km/s doit être considérée comme une vitesse absolu, mesurée ici dans le repère géocentrique équatorial.

Nous supposerons qu'à 229 km du sol la vitesse est horizontale ( périgée ). Comme l'article indique un survol de l'Afrique après 4400 km de vol, nous en déduisons que le tir se fait pratiquement vers l'Est; avec donc un azimut de 90°. Les 2 conditions réunies donnent un tir plein Est, profitant pleinement de la vitesse d'entraînement de la terre valant à 229 km et 28°.5 de latitude, VeT = 423 m/s.

Ainsi Va = VR + VeT = 14.053 + 423 = 14.476 m/s. L'article donne 14.5 km/s environ. C'est donc plausible.

Cette vitesse largement supérieure à la vitesse de libération à 229 km d sol, conduit à une trajectoire hyperbolique de constante , que vous calculerez : C3 = 88.895 kmē/sē

Quant à la troisième vitesse indiquée dans l'article, annoncé comme résidu de vitesse passé la libération de l'attraction terrestre, elle s'interprète comme étant la vitesse à l'infini de l'hyperbole, c'est à dire la racine deC3.

valeur très proche de la valeur indiquée par l'article.

Réponse I 2°) :

a) L'équation de l'énergie donne a = 4484 km

La position du périgée rp = 6378 + 229 = a(e-1) donne e = 2.47346 et donc F* =arccos(1/e) = 66°.15

La distance du centre de la terre à l'asymptote est donnée par d =c sinF* = a e sinF* = 10144 km. On constate donc que, vue de la terre, la vitesse à l'infini portée par l'asymptote, paraît issue du centre de la terre, tant la distance de 10000 km est petite devant le rayon de la sphère d'influence et encore plus devant les futures distances à parcourir.

b) Temps de vol dans la sphère d'influence terrestre :

La sonde est supposée injectée au périgée de l'hyperbole, le classique paramétrage par l'anomalie excentrique hyperbolique F donne :

Lorsque la sonde traverse la sphère d'influence, r = 900000 km environ

Les calculs fournissent : F = 5.094, t-tp = 93500 secondes = 1 jour et 2 heures.

NB: un calcul rapide consiste à dire que si r est grand, F et 1 sont négligeables devant shF ou chF. Le calcul approché conduit à la relation

En somme, tout se passe comme si tout le trajet s'effectuait à la vitesse moyenne qu'est la vitesse à l'infini. La valeur approchée de la durée du trajet est alors de 95440 secondes = 1 jour et 2 heures 30 minutes. L'écart est minime et la relation approchée très performante.

Réponse I 3°) :

Nous savons qu'au sortir de la sphère d'influence de la Terre, la sonde est injectée dans le système solaire, sous la seule action du Soleil ( Hypothèse des sphères d'influence), avec un changement de repère de référence, ainsi avec la composition des vitesses rappelée sur la figure ci-dessus on a:

L'énergie spécifique sur le transfert vaut alors E = - 125.335 kmē/sē, donnant un demi grand axe a = 529.381 106 km, et un apogée de 909.164 106 km, donc très près de la valeur donnée par l'article à 922 millions de km ( 1.4 % d'écart ), ce qui compte tenu des approximations et notamment de l' orbite circulaire terrestre est excellent.

II : LE TRANSFERT ELLIPTIQUE :

Réponse II 1°):

a) Rp = 1UA = 149.6 106 km, Ra = 921.5 106 km, e = (Ra-Rp)/(Ra+Rp) donne e = 0.72066, a = (Ra+Rp)/2 = 535.55 106 km

La période du transfert est de 2474 jours

L'énergie spécifique vaut E = - 123.89 kmē/sē, résultat très proche de celui obtenu en I 3°).

b) Un calcul d'un temps de vol correspondant à une position quelconque, demande l'utilisation de l'anomalie excentrique j.( voir cours)

Nous connaissons le point de départ, le périgée, et le point d'arrivée, au niveau de Jupiter à la date d'arrivée.

le calcul de la durée entre les dates 6 avril 1973 et 3 décembre 1974 est de 606 jours, le calcul est donc excellent, compte tenu des approximations utilisées.

2°) Réponse II 2°

CALCUL DE LA VITESSE RELATIVE :

 Il s'agit de résoudre un triangle de vitesse et de calculer la vitesse VR ou encore la vitesse infinie d'arrivée dans la sphère d'influence de Jupiter.

 Au moment du croisement, on calcule :

 La vitesse de Jupiter sur un cercle de rayon 743 millions de km: VJ = 13.36 km/s

 La vitesse de Pioneer ( avec l'équation de l'énergie) VS1 = 10.46 km/s

 L'angle g , pente de la vitesse de Pioneer, par la conservation du moment cinétique ( loi des aires)

Le triangle des vitesses donne alors aisément VR = 8.83 km/s, telle est la vitesse infinie d'arrivée vers Jupiter.

 III : LE SURVOL DE JUPITER ET LE TREMPLIN :

REPONSE III1°)

La conservation de l'énergie sur l'hyperbole de descente vers Jupiter, exprimée à l'infini où la vitesse est 8?83 km/s et au périgée, donne une vitesse maximale Vp = 48.09 km/s, conforme à l'article. De telles vitesses demandent, pour la mise au point photographique, une mise en rotation de la caméra.

Réponse III 2°) :

1°) La "norme du tremplin" est donnée par une relation simple, ne dépendant que de la vitesse à l'infini et du périgée de survol.

 C'est un incrément de vitesse énorme que seule la planète Jupiter est capable de délivrer. Ainsi la sonde et la planète en interaction gravitationnelle ont échangé de l'énergie et de la quantité de mouvement. Fort heureusement, vue la masse de la planète, l'effet est parfaitement négligeable pour Jupiter et par contre exploitable pour la sonde.

b) ETUDE DU TREMPLIN : Les figures ci-après illustrent un survol avant et les divers vecteurs vitesses et les asymptotes, avec origine ramenée au même point.

Sont connues d'un calcul antérieur : VS1 = 10.46 km/s, VJ = 13.46 km/s, g1 = 41°.23.

a1 et F s'obtiennent aisément :

Dans le triangle des vitesses à la sortie de la sphère d'influence, on a :

Sont connues d'un calcul antérieur : VS1 = 10.46 km/s, VJ = 13.46 km/s, g1 = 41°.23.

NB : on remarquera que la norme de la vitesse est passée de 10.46 km/s à 15.726 km/s, conduisant à une nette augmentation ( 5266 m/s ) de la norme, ce qu'un étage de moteur ne pourrait seul délivrer, mais en plus le vecteur vitesse a tourné de g1+g2 = 75°.36

c) Caractéristiques de la nouvelle orbite héliocentrique :

Nous sommes en mesure de calculer la constante des aires K et l'énergie E, puis a, e, le lecteur vérifiera:

K = 9.672 109 km/s, E= -54.9 km/sē, a=1.2086 109 km, e = 0.645522, Période T = 8388 jours

L'apogée se situe à ra = 1.9888 109 km, donc très largement au dessus du niveau de Saturne, une rencontre est donc possible.

d) Date de rencontre avec l'orbite de Saturne:

Il nous faut calculer deux temps, t1 de la position de Jupiter à 743 e6 km, au périgée, t2 du périgée à la position de Saturne à 1.43 e9 km, la durée étant la somme des deux temps, car la sonde "descend" vers son périgée avant de remonter vers Saturne. Le lecteur fera ces calculs maintenant classiques, utilisant les anomalies excentriques des positions de Jupiter (j1 = 53°.36 = 0.9313 rd et j2 =106°.85=1.8585 rd de Saturne) sur l'orbite future, calculs qui conduisent à:

T1 = 551.8 jours = 552 jours, t2 = 1654.8 jours, durée = 2206 jours environ de 6 ans environ après le survol de Jupiter, résultat qui diffère assez de la réalité qui donne 4 ans et 9 mois.

C'est normal car :

* la sphère d'influence de Jupiter est énorme 50 millions de km environ et nous l'avons considérée de rayon nul

* des corrections de trajectoire que nous ignorons, ont sûrement été apportées.

* de plus le tremplin n'était pas dans l'écliptique comme nous l'avons supposé et traité, faute de plus de précisions nous nous sommes contentés de ces approximations. Les calculs des conditions de sortie sont certainement incertaines.

Le but de ce dernier calcul visait surtout à bien faire percevoir la nature du tremplin, le but est certainement atteint.

NB : pour la petite histoire, le tremplin "avant" sur Saturne, a mis la sonde en évasion par rapport au Soleil. On s'explique donc mieux pourquoi les américains ont muni cette sonde de divers messages, dans l'espoir que hors du système solaire, une rencontre avec des êtres intelligents puisse se produire. Qui sait?

Le programme américain SETI de recherches de signaux extra terrestres s'en occupe sérieusement.

 

Guiziou Robert 9 juin 2000, revu en octobre 2000, puis janvier 2004

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